Реферат на тему пирамида математика

by СамсонPosted on

Ответ: ;. Найти полную поверхность пирамиды. По условию двугранные углы равны, значит и соответствующие линейные углы будут равны. Калькулятор справочный портал. Иначе обстоит дело с высотами — перпендикулярами, опущенными из вершин тетраэдра на противоположные грани.

Значит, применима формула Симпсона:. Пусть A2B2C2D2 — среднее сечение.

Геометрические фигуры. Пирамида.

Основания и среднее сечение — подобные многоугольники, и. Подставим эти значения в 3 :. Изо всех рассмотренных пирамид наибольший интерес у меня проявляется к простейшей пирамиде, называемой тетраэдром. Я постараюсь более подробно рассмотреть тетраэдр и его свойства.

Тетраэдр ABCD задается четырьмя своими вершинами — точками A, B, C, D, не лежащими в одной плоскости: грани тетраэдра — четыре треугольника; ребер у тетраэдра шесть.

Тема 9. "Пирамида".

Как треугольник — простейший многоугольник, так тетраэдр, или треугольная пирамида — простейший многогранник. Геометрия тетраэдра ничуть не менее богата, чем геометрия его плоского собрата — треугольника, многие свойства которого в преображенном виде мы находим у тетраэдра.

Доклад на тему филинДоклад на тему народ чеченцы
Реферат по теории общенияВверх по лестнице ведущей вниз рецензия
Как делается шапка рефератаРеферат модели систем расселения

Немало общего имеет тетраэдр с четырехугольником — ведь у обоих по четыре вершины. Треугольники принято классифицировать по степени их симметричности: правильные или равносторонние треугольники имеют три оси симметрии, равнобедренные — одну. Самый симметричный тетраэдр правильный, ограниченный четырьмя правильными треугольниками.

Он имеет 6 плоскостей симметрии — они проходят через каждое ребро перпендикулярно противолежащему ребру и 3 оси симметрии, проходящие через середины противолежащих ребер. Менее симметричны правильные треугольные пирамиды то есть тетраэдры с равными гранями — 3 оси симметрии. Такой тетраэдр обладает наибольшим набором самосовмещений. Имеется 12 поворотов, переводящих его в себя, реферат на тему пирамида математика симметрий относительно плоскостей и еще 6 движений, сочетающих поворот с симметрией.

Любой треугольник имеет единственную вписанную и описанную окружности.

Реферат на тему пирамида математика 2396

Точно также у любого тетраэдра есть единственная вписанная касающаяся всех граней и единственная описанная проходящая через все вершины сферы. Доказательства этих свойств повторяют соответствующие планиметрические: центр вписанной сферы равноудален от всех вершин и лежит на пересечении перпендикуляров, восстановленных к граням из центров их описанных окружностей то есть четыре перпендикуляра пересекаются в одной точке.

Но кроме граней и вершин тетраэдр имеет еще и ребра. Возникает вопрос: можно ли провести сферу, касающуюся всех его шести ребер ее называют полувписанной; рис. Здесь тетраэдр ведет себя, как четырехугольник, реферат на тему пирамида математика условия существования полувписанной сферы повторяет признак описанного четырехугольника: такая сфера существует тогда и только тогда, когда суммы длин каждой пары реферат на тему пирамида математика ребер тетраэдра равны между собой:.

Тетраэдры, имеющие полувписанную сферу, называются каркасными. По сути дела, это все тот же планиметрический признак, но примененный к пространственным четырехугольникам — в данном случае четырехугольникам, образованным двумя парами противоположных ребер тетраэдра.

Когда все боковые ребра имеют одинаковую величину, тогда: около основания пирамиды легко описать окружность , при этом вершина пирамиды будет проецироваться в центр этой окружности; боковые ребра образуют с плоскостью основания одинаковые углы ; кроме того, верно и обратное, то есть когда боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы, либо когда около основания пирамиды можно описать окружность и вершина пирамиды будет проецироваться в центр этой окружности, значит, все боковые ребра пирамиды имеют одинаковую величину. Исследования А.

Но еще большие неожиданности обнаруживаются при исследовании вневписанных сфер тетраэдра, то есть сфер, касающихся плоскостей всех четырех его граней, но лежащих вне тетраэдра. Как известно, у любого треугольника имеется три вневписанные окружности.

[TRANSLIT]

Плоскости граней тетраэдра разбивают пространство на 15 областей рис. Кроме четырех трехгранных углов, примыкающих к вершинам, остальные 11 областей ограничены всеми четырьмя плоскостями. А вот с шестью областями, примыкающими к ребрам и по форме напоминающими четырехскатные крыши или чердаки, дело обстоит сложнее.

4710971

Итак, тетраэдр имеет не менее четырех и не более семи вневписанных сфер, причем все промежуточные случаи возможны. Для любого тетраэдра справедлив аналог теоремы о пересечении медиан треугольника в одной точке, в которой они делятся в отношении Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на высоту боковой грани, которая называется апофемой. Плоскости боковых граней такой реферат на тему пирамида математика являются касательными плоскостями конуса.

Боковые грани правильной пирамиды — равные равнобедренные треугольники, основания которых — стороны основания пирамиды, а высоты равны апофеме. Площадь S боковой поверхности пирамиды равна сумме произведений сторон основания на половину апофемы d. Вынося множитель за скобки, получим в скобках сумму сторон основания пирамиды, то есть его периметр.

  • Цилиндр будет вписанным в пирамиду, если 1-но его основание совпадет с окружностью, которая вписана в сечение пирамиды плоскостью, параллельной основанию, а второе основание будет принадлежать основанию пирамиды.
  • Основания правильной усеченной пирамиды — правильные многоугольники, а боковые грани — равнобедренные трапеции.
  • Тетраэдр ABCD задается четырьмя своими вершинами — точками A, B, C, D, не лежащими в одной плоскости: грани тетраэдра — четыре треугольника; ребер у тетраэдра шесть.
  • Усеченной пирамидой является многогранник , заключенный меж основанием пирамиды и секущей плоскостью, которая параллельна ее основанию.

Значит, по аксиоме если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку они пересекаются по прямой, проходящей через точку М. В соответствии с условием прямые АВ и CD лежат в одной плоскости. Построим точку их пересечения:.

Тогда по аксиоме Если две точки прямой принадлежат плоскости, то все точки прямой, определяемой ими, лежат в этой плоскости и точка F лежат в плоскости МАВ. Аналогично заключаем, что точка F лежит и в плоскости MCD. Построим основной след секущей плоскостипроходящей через точки Р, Q и R. Так как прямые МР и MQ пересекаются, то по теореме Через две реферат на тему пирамида математика прямые проходит плоскость, и притом одна через них проходит плоскость.

Простое объяснение схемы финансовых пирамид

Построим точку. Так как точка лежит на прямой PQ, две точки которой принадлежат плоскостито по аксиоме Если две точки прямой принадлежат плоскости, то все точки прямой, определяемой ими, лежат в этой реферат на тему пирамида математика точка принадлежит плоскости. Аналогично заключаем, что точка принадлежит плоскости ABC.

Итак, плоскости и ABC имеют общую точку. Именно эта геометрическая форма обеспечивает наибольшую устойчивость за счет большой площади основания. С другой стороны, форма пирамиды обеспечивает уменьшение массы по мере увеличения высоты над землей. Именно эти два свойства делают пирамиду устойчивой, а значит и прочной в условиях земного тяготения.

Цель проекта : узнать что-то новое о пирамидах, углубить знания и найти практическое применение.

Пирамида называется правильной, если её основание - правильный многоугольник, а отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром основания, является высотой. Разбор ЕГЭ по математике.

Пирамидой называется многогранник, основание которого — многоугольник, а остальные грани — треугольники, имеющие общую вершину. В правильной треугольной пирамиде противоположные ребра попарно перпендикулярны. Если боковые ребра реферат на тему пирамида математика равны между собой, то в основании лежит правильный многоугольник, вокруг которого можно описать окружность, а вершина пирамиды проецируется в центр этой окружности.

Если двугранные углы при основании пирамиды равны между собой, то в основании пирамиды лежит многоугольник, в который можно вписать окружность, а вершина пирамиды проецируется в центр этой окружности. Утверждения 1, 2, 3 и 4, 5, 6 равносильны. Пирамида называется правильной, если её основание - правильный многоугольник, а отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром основания, является высотой. Все боковые ребра правильной пирамиды равны, а боковые грани являются равными равнобедренными треугольниками.

Высота боковой грани правильной пирамиды, проведённая из её вершины, называется апофемой. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.

Реферат на тему пирамида математика 1783

Перпендикуляр, проведённый из какой-нибудь точки одного основания к плоскости другого основания, называется высотой усечённой пирамиды. Боковые грани усечённой пирамиды - трапеции. Пирамида — многогранник реферат на тему пирамида математика, в основании которого лежит многоугольник, а остальные грани являются треугольникамикоторые имеют общую вершину. Пирамида — это частный случай конуса.

Когда боковые грани имеют угол наклона к плоскости основания одной величины, тогда:. Около пирамиды можно описать сферу в том случае, если в основании пирамиды лежит многоугольник, вокруг которого можно описать окружность необходимое и достаточное условие. Центром сферы станет точка пересечения плоскостей, которые проходят через середины ребер пирамиды перпендикулярно.

Из этой теоремы делаем вывод, что как около всякой треугольной, так и около всякой правильной пирамиды можно описать сферу. В пирамиду можно вписать сферу в том случае, если биссекторные плоскости внутренних двугранных углов пирамиды пересекаются в 1-ной точке необходимое и достаточное условие.

Эта точка станет центром сферы. Конус будет вписанным в пирамиду, когда вершины их совпадут, а основание конуса будет вписанным в основание пирамиды.